Afkoelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(5)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(6)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

! Worden in de code bepaald!

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

# Hier de data en de analyse

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

# Geometrie en materiaal
rho = 7.9e3      # kg/m^3 voor staal, kan je aanpassen
C_spec = 470     # J/(kg K) voor staal
r = 0.01         # m, radius van de buis
L = 0.3          # m, lengte van de buis

volume = np.pi * r**2 * L
massa = rho * volume
warmtecapaciteit = massa * C_spec
buitenoppervlak = 2 * np.pi * r * L

print("Warmtecapaciteit [J/K]:", warmtecapaciteit)
print("Buitenoppervlak [m^2]:", buitenoppervlak)

# Data: tijden en temperaturen 
times_vert = np.array([0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220,
                       240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 440, 460, 480, 500])
temps_vert = np.array([45.6, 45.4, 44.9, 44.2, 43.4, 42.7, 41.8, 41.1, 40.4, 39.9,
                       39.5, 38.5, 38.0, 37.4, 36.9, 36.4, 36.0, 35.5, 35.0, 34.5,
                       34.2, 33.7, 33.3, 33.0, 32.8, 32.4])

times_hor = np.array([0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220,
                      240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 440, 460, 480, 500, 520, 540, 560, 580, 600])
temps_hor = np.array([56.9, 56.1, 55.1, 53.6, 52.6, 51.4, 50.5, 49.4, 48.4, 47.5,
                      46.5, 45.8, 44.9, 44.0, 43.0, 42.3, 41.6, 41.0, 40.2, 39.7,
                      39.0, 38.6, 38.1, 37.6, 37.1, 36.6, 36.3, 35.9, 35.5, 35.0, 34.6])

times_dop = times_vert  #zelfde tijdstippen als verticaal
temps_dop = np.array([58.6, 57.9, 56.7, 55.5, 54.5, 53.4, 52.3, 51.2, 50.4, 49.4,
                      48.4, 47.6, 46.8, 45.9, 45.3, 44.5, 43.8, 43.1, 42.4, 41.8,
                      41.2, 40.6, 40.1, 39.4, 39.0, 38.5])

# Fit en plot 
def fit_and_plot(times, temps, label):
    # Beginwaarden voor curve_fit
    A0 = temps[0] - temps[-1]
    tau0 = 400
    T_omg0 = temps[-1]

    popt, _ = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[A0, tau0, T_omg0], maxfev=5000)
    A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt
    y_fit = exp_func(times, *popt)

    plt.figure()
    plt.xlabel('$Time$ (s)')
    plt.ylabel('$Temperature$ (°C)')
    plt.title(label)
    plt.plot(times, temps, 'k.', label='Measurement')
    plt.plot(times, y_fit, 'r-', label=f'$T(t) = {A_exp:.2f} e^{{-t/{tau_exp:.2f}}} + {T_omg_exp:.2f}$')
    plt.legend()
    plt.show()

    h_exp = warmtecapaciteit / (tau_exp * buitenoppervlak)
    print(f"{label} -> tau = {tau_exp:.2f} s, h = {h_exp:.2f} W/m²K")
    return tau_exp, h_exp

tau_vert, h_vert = fit_and_plot(times_vert, temps_vert, "Verticale buis")
tau_hor, h_hor = fit_and_plot(times_hor, temps_hor, "Horizontale buis")
tau_dop, h_dop = fit_and_plot(times_dop, temps_dop, "Verticale buis met dop")

Warmtecapaciteit [J/K]: 349.942005683367
Buitenoppervlak [m^2]: 0.01884955592153876

Verticale buis -> tau = 615.87 s, h = 30.14 W/m²K

Horizontale buis -> tau = 474.39 s, h = 39.13 W/m²K

Verticale buis met dop -> tau = 554.49 s, h = 33.48 W/m²K

Discussie en conclusie¶

De afkoeling van de metalen buis is sterk afhankelijk van de oriëntatie en de locatie van een dop. De verticale buis zonder dop koelde het snelst af door natuurlijke convectie, terwijl de verticale buis met dop het langzaamst afkoelde doordat de convectie werd beperkt. De horizontale buis toonde een gemiddelde afkoelsnelheid. De karakteristieke tijd τ maakte het mogelijk om de warmteoverdrachtscoëfficiënt h te berekenen, waarbij convectie als het meest dominante mechanisme werd aangetoond. Het experiment toont aan dat de wet van Newton over afkoeling effectief is en dat geometrie en isolatie een aanzienlijke impact hebben op de warmteoverdracht.